0不能當除數的真正原因
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- 發(fā)布日期：2017-03-20
學(xué)生提出的簡(jiǎn)單疑問(wèn)
（在某間教室里）
某一天，學(xué)生提出了一個(gè)問(wèn)題。
老師，為什么在除法運算當中0不能作為除數呢？
對這名提出問(wèn)題的學(xué)生，我決定為他做一番全面細致的解說(shuō)，因為他一定是鼓足了勇氣才決定向老師提問(wèn)的。
謝謝你提出了這個(gè)很好的問(wèn)題。為什么平常有想法，卻不來(lái)向老師提問(wèn)呢？不用擔心被認為這太奇怪了，沒(méi)有這回事。你的疑問(wèn)是經(jīng)過(guò)非常認真的思考的，這是一個(gè)很重要的問(wèn)題。
為什么這個(gè)提問(wèn)那么重要呢？
好啦，快把耳朵湊過(guò)來(lái)慢慢傾聽(tīng)老師的說(shuō)明吧。首先呢，讓我們從再度思考何為除法這個(gè)問(wèn)題出發(fā)。請看下面方框中的公式。
◆ 除法中“暗藏乘法”
所謂除法的計算，是“求某個(gè)數是其他數的幾倍的計算”。也就是說(shuō)，我們可以認為最早先有了乘法。例如6÷2是在求“6是2的幾倍”。最開(kāi)始有了“將2擴大3倍即得6”的概念。這樣一來(lái)，我們就能斷定除法和乘法是相對應起來(lái)的。
0的乘法算得的答案是......
下面讓我們來(lái)看看，用0作為除數的除法吧。
例如，“3÷0=？”即在計算“3是0的幾倍”。用乘法的算式表示出來(lái)就是“0×？=3”。
即，“0×？=3”→“3÷0=？”。
好啦，讓我們看一看這個(gè)算式，試著(zhù)想一想“？”處究竟應該填入什么樣的數字呢？0究竟該乘以什么才能變成3？那樣的數字是不存在的。
是的，“3÷0”的答案是“不存在”。
下面還有一個(gè)問(wèn)題，是有關(guān)用0來(lái)除以0的除法計算的。
“0÷0”，讓我們像之前一樣用乘法的算式來(lái)探究一番吧。
“（乘法算式）”→“0÷0=？”
“（乘法算式）”處應填入的是“0×？=0”。
那么“？”處應填入一個(gè)最適合的數字吧？
0×0=0
0×1=0
0×2=0
0×3=0
…
…
…
能看出“？”處無(wú)論填什么數字都能成立呢。
因此，
0÷0=0
0÷0=1
0÷0=2
0÷0=3
最后就變成了這個(gè)樣子。
這便意味著(zhù)“0÷0”的答案有無(wú)數個(gè)。
“0不能作為除數”的真正原因
“6÷3”是“2”，正因為答案只有唯一一個(gè)，它作為除法才有了意義。這并不僅限于除法當中，可以說(shuō)所有的計算都是如此。
“3+5” “6-4” “8-3” 中不管哪一個(gè)的答案都只有一個(gè)。然而“a÷0”的計算答案并不是唯一的。
這正是“0不能作為除數”的原因。
這種現象在數學(xué)中被稱(chēng)為“無(wú)法定義的計算（演算）”，表示為下面方框中的內容。
◆ “a÷0”是無(wú)法被定義的！
對于“無(wú)法定義的計算”，可能至今為止我們都未曾聽(tīng)過(guò)。這是理所當然的事，因為我們從小學(xué)開(kāi)始學(xué)習的計算全都是能夠定義的計算。
我們在學(xué)習學(xué)習的數學(xué)中，都省略掉了下面這句話(huà)——“從現在開(kāi)始大家所挑戰的計算，都是能夠被準確定義的。所以。只有安心計算就行了喲。”
“用0作為除數的計算”是將這句話(huà)當中未提及的前提告知大家的絕佳方式。
因此，“為什么0不能作為除數”這個(gè)問(wèn)題是非常重要的。
